Séminaire du 12/12/2019

Abhinandan (IMB) : « Etale fundamental groups »

Abstract :

In topology, the notions of fundamental group and finite covers are very well connected. In fact, for a topological space S, the automorphism group of the fiber functor from the category of finite coverings of S to sets is isomorphic to the profinite completion of the fundamental group of S. In the 1960s, A. Grothendieck adapted this point of view to algebraic geometry by considering finite étale covers of schemes and defined the fundamental group for (connected) schemes. This generalization, when specialized to the case of fields, is the well-known Galois theory for fields. In this talk, after recalling basic definitions and results from topology and Galois theory, we will discuss the étale fundamental group for a (connected, affine) scheme.

Séminaire du 6/12/2019

Thomas Cometx (IMB) : « Théorèmes spectraux et calculs fonctionnels »

Résumé :

Le théorème spectral le plus connu est celui sur les matrices. Il affirme que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée. Il permet de démontrer des résultats comme l’existence d’une racinée carrée symétrique définie positive pour une matrice symétrique définie positive.

Plus généralement, il permet de définir f(M) où f est une fonction scalaire et M la matrice en question. C’est ce qu’on appelle un calcul fonctionnel. Après avoir montré quelques preuves que l’on peut faire avec ces résultats, je parlerai du théorème spectral plus général sur la diagonalisation d’un opérateur autoadjoint sur un espace de Hilbert et du calcul fonctionnel qui en découle.

Enfin, je parlerai de calcul fonctionel $H^\infty$ où il s’agit de définir f(T), où f est une fonction holomorphe et T un opérateur sur espace de Banach. J’expliquerai pourquoi il est lié à certaines inégalités et j’en présenterai quelques unes que j’étudie en thèse.